在量子世界玩数独：被判为无解的数学谜题，物理学家找出了答案

数独游戏风靡全球，无论你是否爱玩，至少也听说过这种游戏的规则：一个 9×9 的网格被分为 9 个 3×3 的“宫”，将数字 1~9 填入这些格子中，要保证每行、每列和每宫都没有重复的数字。一般一个数独游戏会给出部分提示数，剩下的数字则需要玩家推理填补上。就是这样一个简单的规则，衍生出了非常多的解题技巧，引得无数玩家乐此不疲。

数独的前身可以追溯到 18 世纪的欧洲，数学家莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler）总结了当时流行的一种填字游戏，称为“拉丁方阵”（Latin square）。游戏的规则即是在 n 阶的方形网格中填入 n 种拉丁字母（类似于 2 阶数独中，填入数字 1~2，而 3 阶数独中填入 1~3），使得每行、每列的字母都不会重复。这种方阵不限于 9 阶，也没有宫的限制，但保留了数独最基本的“每行每列不重复”的要求。

不过让欧拉着迷的是拉丁方阵的一种更复杂的版本。欧拉考虑往每个格子中填入一个拉丁字母和一个希腊字母，使得每行、每列的字母都不会重复，并且每个格子中的希腊-拉丁字母对也不重复。这种方阵叫做“希腊-拉丁方阵”（Graeco-Latin square），其实质是将两个正交拉丁方阵（orthogonal Latin squares）并成一个方阵。这里的“正交”即是指，两个方阵对应格子组成的有序对不重复。如果你也想尝试，格子里的元素并不一定要是希腊和拉丁字母，你也可以用扑克牌的花色组合，甚至有序数对表示。

无解的 36 军官问题

欧拉在仔细考察了希腊-拉丁方阵后发现了一个有趣的现象：3，4，5，7 阶的希腊-拉丁方阵都可以构造出来，但是无法构造出 2 阶和 6 阶的希腊-拉丁方阵。2 阶的问题比较好处理，通过穷举法就能看出这样的希腊-拉丁方阵不存在，而 6 阶的问题相对复杂一些。欧拉用更通俗的语言复述了这个问题：从 6 个军团各挑 6 种不同军衔的军官一共 36 人，将这 36 名军官排成一个方阵，能否让每一行、每一列的军官所属的军团和军衔都不相同？

欧拉认为这个“36 军官问题”问题是无解的，即不存在 6 阶的希腊-拉丁方阵。并且他猜想，所有阶数为除以 4 余 2 的数的希腊-拉丁方阵都不存在，也就是说，2，6，10，14…… 阶的希腊-拉丁方阵都不存在。

一个多世纪后的 1901 年，法国数学家加斯顿・塔里（Gaston Tarry）通过穷举法证实了，按规则构造出来的 6 阶方阵总会有格子里的元素是重复的，6 阶希腊-拉丁方阵确实不存在。到了 1959 年，有数学家证明了欧拉进一步的猜想是不成立的，也就是说，除了 2 阶和 6 阶，其他阶数的希腊-拉丁方阵都是存在的。至此，这个关于原始版数独的问题在数学上有了答案。

量子解法

时间来到 21 世纪，一帮物理学家重新翻出了欧拉的 36 军官问题。尽管这个问题在数学上已经有了定论，但他们从物理学的角度开了个脑洞：假如这 36 军官处在一种量子叠加态中，每个军官“部分地”属于一个军团和一种军衔，又“部分地”属于另一个军团和另一种军衔，那这个问题还有解吗？

沿着这个思路，有物理学家修改了一下希腊-拉丁方阵的构造规则，给出了一个量子版本的数独游戏。在量子力学中，物体的状态可以用向量来表示。在量子版 36 军官问题中，每个军官所属的军团可以表示为一个 6 维空间中的向量，所属的军衔又可以表示为另一个 6 维空间中的向量。由于军官可以处在各种叠加态中，这些向量可以各不相同，它们排列成的 6×6 方阵也就很容易满足“每行每列的向量各不相同”的要求，但这没有研究价值。物理学家感兴趣的是，每行、每列的向量是否构成了所属空间的一组标准正交基。

要理解所谓“标准正交基”，可以做个类比。我们所熟悉的三维空间中，可以建立直角坐标系，沿坐标系中的 x，y，z 轴方向的单位向量便构成了一组标准正交基，这三个向量满足：方向上两两垂直，大小上都为单位长度。36 军官问题可做类似理解，这意味着，6×6 方阵中代表军官军团和军衔的向量要满足：每行、每列的向量两两垂直，并且大小为单位长度。

事实上，代表军团的 6 维空间和代表军衔的 6 维空间可以扩充为一个 36 维空间，而每个军官的军团和军衔可以由这个 36 维空间中的一个向量表示。这些向量排列成的 6×6 方阵依然需要满足：每行、每列的向量两两垂直，并且大小为单位长度。

在近期提交给《物理评论快报》的一篇预印本论文中，来自印度理工学院、波兰雅盖隆大学等机构的物理学家为这个量子版本的 36 军官问题找到了解。他们先是构造出了一个经典的 6×6 希腊-拉丁方阵的近似解（这意味着有部分格子里的元素是重复的），然后在计算机的帮助下，将这个近似解调整为量子版本的解。他们使用了一种算法实现这一点，这种算法有点像蛮力解魔方，先拼好第一行，然后拼第一列、第二列，以此类推，直到终于拼出完整的魔方。当他们一遍遍重复该算法后，得到了量子版 36 军官问题的解。

这篇论文用扑克牌代替了军官：点数 A，K，Q，J，10，9 代替了军团；花色♠，♣，♦，♥，✿，✷代替了军衔。最终得到的量子解中，每个格子上的牌都处在两种点数和两种花色的叠加态中。值得注意的是，凡是格子中出现了点数 A，与之叠加的点数一定是 K；Q 与 J，10 与 9 同理。而凡是格子中出现了花色♠，与之叠加的花色一定是♣；♦与♥，✿与✷同理。这说明，点数和花色各自两两发生了量子纠缠。也正是由于纠缠态的存在，整个方阵就不能像经典的希腊-拉丁方阵那样，按点数和花色分解成两个独立的拉丁方阵。这也是量子拉丁方阵的特别之处。

研究人员说，这个古老数独问题的量子解，等价于一个 4 粒子系统的绝对最大纠缠态（Absolutely Maximally Entangled state）。这种纠缠态可以应用于量子计算中的纠错等许多场景，例如在量子计算机中以这种状态存储冗余信息，即使数据遭到损坏，信息也能保存下来。这个源自欧拉的古老数学问题，在 243 年后得到了一个物理学上的新解答。或许对于理论物理学家来说，这只是一次好玩的脑洞，却让量子通信和量子计算领域的研究者从中受益。科学的进步往往就发生在这样的游戏中。

参考链接：

• https://www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/

论文链接：

• https://arxiv.org/abs/2104.05122

本文来自微信公众号：环球科学 （ID：huanqiukexue），撰文：白德凡，审校：二七