流体粘度极限，如何用量子力学解释？

本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），撰文：Kostya Trachenko（英国伦敦女王玛丽大学教授）Vadim V. Brazhkin（莫斯科高压物理研究所所长），翻译：严佳，校译：张一

上世纪 70 年代，诺贝尔奖得主、物理学家普赛尔（Edward Purcell）注意到，不存在比水的粘度低得多的液体。在短文《低雷诺数下的生命》（Life at low Reynolds number）的首段，他写道：“粘度的跨度很大，但却都截止在同一个地方。令我不解。”

普赛尔所说的“截止在某个地方”，是指液体粘度不会低于某个特定值。他在短文的第一个脚注中指出，韦斯科夫（Victor Weisskopf）曾向他解释过这个现象。然而，迄今为止，还没有人见过这个解释的公开发表记录。即便如此，在普赛尔文章发表前后，韦斯科夫自己也发表了题为《关于液体》（About liquids）的短文。它以一个发人深省的故事开始，讲述了理论物理学家在试图仅用量子力学推导物质状态时面临的挑战。他们可以预测气体和固体的存在，却无法预测液体。

要点在于液体难于对付 —— 这在教科书中讲的十分透彻。例如，朗道（Lev Landau）和栗弗席兹（Evgeny Lifshitz）的《统计物理学》（Statistical Physics）中一再强调，液体的热力学性质和温度依赖性根本无法以适用于所有液体的解析形式计算出来。原因在于很强的分子间相互作用以及缺乏简化固体理论的小振动。这种复杂性体现在著名的“无小参数”问题上：液体既没有气体的弱相互作用，也没有固体的小的原子位移。尽管面临这样的困难，我们还是根据液体中的激发发展了液体的热力学理论，它目前正在经受细致的检验。

粘度极小值

同时，我们可以向理论家提出这样的问题：他们是否充分理解了粘度，从而回答普赛尔的问题，为什么所有的粘度系数都截止于同一位置。粘度系数 η 表示流体抵抗剪切力的能力，决定着诸如扩散和耗散等重要性质。在稀薄的类气体流体中，η 由平均自由程 L 以内运动的分子及碰撞中的动量传递所决定：具体而言，η=ρvL / 3，其中 ρ 和 v 分别为分子的密度和平均速度。

该方程预言气体的粘度随温度增加，因为分子速度随温度增加。这个预言是反直觉的，因为流体在受热时通常会变稀薄。与气体不同，稠密液体的粘度是由其分子在跳到邻近位置之前围绕准平衡位置振动决定的。这些跳跃频率随着温度升高而增加，结果粘度随着温度升高而降低：η=η₀exp(U/k_BT)，其中 U 是活化能。

粘度在高温下增大，在低温下减少，意味着它有一个极小值。该极小值产生于两种不同的粘度区域间的平滑过渡（crossover）：一个是气体类区域，温度较高的粒子的动能提供了较大的动量传递，因此导致较大的 η；另一种是液体类区域，温度较低的粒子跳动频率降低，液体流动速度减慢，也导致较大的 η。

看一下临界点以上的过渡很方便，它在那很光滑，且没有气液相变的干扰。借助描述流体流动性质的运动粘度 ν=η/ρ 来考虑。下页（原文第 67 页）的图显示了几种超临界流体 （supercritical fluids）的实验数值。运动粘度显然存在极小值，可以把它们理解为气体类和液体类行为之间的过渡状态。

粘度极小值为普赛尔问题提供了第一条线索。当粘度达到其极小值时，它们当然就会停止下降。但是每个极小值本身是否可以任意地接近零？（注意，我们不在这篇快速研究中讨论超流。）为什么 η 的极小值很难向上或向下移动，且在某种程度上接近于环境条件下的水的粘度？

如果科学家们能够计算出粘度的极小值，就可以回答这个问题。但正如朗道和栗弗席兹在他们的书中讨论的那样，这很复杂。分子间相互作用很强，而且是依赖系统的。只使用理论且没有模型输入，即使是简单液体计算粘度参数也很困难。而对分子液体，如水，这近乎不可能。

一个具有启发性的近似

幸运的是，过渡位置的粘度极小值是一个特殊点。事实上，若只近似考虑的话，是可以计算粘度的。极小值 ν_min 仅与凝聚态系统的两个基本属性有关 ν_min=ω_Da²/2π，其中 a 是原子间间距，ω_D 是系统德拜频率 (Debye frequency)。反过来，这两个参数可以与氢原子的半径和由里德堡（Rydberg）能量设定的特征结合强度相关。则 ν_min 成

其中 m_e 是电子质量，m 是分子质量。

两个基本常数ħ和 m_e 出现在 (1) 式中。极小粘度原来是量子属性! 这貌似令人惊讶，且与作为经典系统的高温液体的概念相悖。但是 (1) 式提醒我们，凝聚态中相互作用的性质是量子力学的，ħ同时影响玻尔半径和里德堡能量。

基本常数有助于防止 ν_min 大幅上升或下降。因为 ν_min 与分子质量的平方根成反比，所以粘度本身并不普适 —— 尽管这不会对 ν_min 造成太大改变。对于不同的液体，如图中所示，(1) 式预言 ν_min 应落在 (0.3-1.5)×10^-7m²/s 的范围内。这一范围令人欣慰地接近实验值。

因此，普赛尔问题的答案是，粘度停止下降的原因是它们有极小值，而这些极小值由基本常数决定。有意思的是，同样的情况也发生在一个无关的液体特性上，即热扩散系数，它支配液体传热的优劣。它也表现出 (1) 式给出的极小值。之所以如此，是因为与 ν_min 相同，热扩散系数也取决于两个参数，a 和 ω_D。

如 (2) 式所示，当 m 取质子质量 m_p 时，(1) 式产生一个普适量 ν_f，即基本运动粘度：

基本物理常数ħ、m_e 和 m_p 具有普遍的重要性。它们与电子电荷和光速一起，构成了决定宇宙是否对生物友好的无量纲常数。这是因为它们影响恒星的形成和较重元素的合成，包括碳、氧等，然后形成对生命至关重要的分子结构。

基本常数和水

基本常数在更高层次上对生命亦友好。生物过程，如细胞中的进程，在很大程度上依赖水。例如，如果普朗克常数取不同的数值，水的粘度也会发生变化 —— 它的运动粘度 ν，与水的流动有关，它的动力学粘度 η，决定其内部摩擦和扩散。如果粘度极小值因ħ的数值较高而增加，水将变得更加粘稠，生物进程也将不同。生命可能不会以其目前的形式存在，甚至根本不存在。

人们可能希望细胞仍然可以在这样的宇宙中生存，通过找到一个更热的地方，使过度粘稠的水变得稀薄。但这也于事无补。普朗克常数设定了一个粘度不能继续降低的、无关温度的极小值。水和生命确实和物理世界的量子化琴瑟和谐。

我们希望普赛尔会对他的问题的答案感到高兴。除非他在上世纪 70 年代已经从韦斯科夫那里听到了这个答案。

参考资料

• ‣ E. M. Purcell, “Life at low Reynolds number,” Am. J. Phys. 45, 3 (1977).

• ‣ V. F. Weisskopf, “About liquids,” Trans. N. Y. Acad. Sci. 38, 202 (1977).

• ‣ L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Statisticheskaia fizica (Statistical Physics), 2nd ed., Pergamon Press (1969).

• ‣ J. E. Proctor, “Modeling of liquid internal energy and heat capacity over a wide pressure– temperature range from first principles,” Phys. Fluids 32, 107105 (2020).

• ‣ K. Trachenko, V. V. Brazhkin, “Minimal quantum viscosity from fundamental physical constants,” Sci. Adv. 6, eaba3747 (2020).

• ‣ J. D. Barrow, The Constants of Nature: From Alpha to Omega— The Numbers That Encode the Deepest Secrets of the Universe, Pantheon Books (2003).

本文经美国物理学会（AIP）授权翻译发表于《返朴》（FanPu），原文译自 Kostya Trachenko and Vadim V. Brazhkin , "The quantum mechanics of viscosity", Physics Today 74, 66-67 (2021) https://doi.org/ 10.1063 / PT.3.4908

Reproduced from [Kostya Trachenko and Vadim V. Brazhkin , "The quantum mechanics of viscosity", Physics Today 74, 66-67 (2021) https://doi.org/10.1063/PT.3.4908], with the permission of the American Institute of Physics.